マーク式模試数学ⅡB 第1問[2]解説

マーク式模試数学ⅡBの第1問[2]の解説を行います。
まだ解いていない方はぜひ解いてくださいね。
問題はこちら

第1問[2]指数・対数関数は対数を利用して大きな数の桁数を考える問題でした。
問題を再掲しておきます。
まずAの最小値を求めます。Aは指数関数になっているので、指数部分が最小のときAもまた最小になります。
Aの指数部分を平方完成して、

から、n=4のとき指数部分が最小値となり、Aもまた最小値になります。
そのときAは最小値

を取ります。(スセソ)
次に、Aの桁数を考えていきましょう。
誘導通りlog₁₀Aを求めると、

となります。(タチツ)
Aが50桁以上の数になるときは、

なので、これを変形していき、

63.8は8²である64より少し小さいので、
(n-4)は8より少し小さい数となります。
よって、この不等式を満たす最初のnは12です。(テト)
このとき、

となり、49≦log₁₀A≦50
から、確かにAが50桁の数になりました。
(トナニ)
また、n=テト+1、つまりn=13のときは、

より、Aは63桁の数になることがわかりました。
いかがでしたか？指数関数対数関数分野では桁数問題はあまり出題されませんが、突如出題されると困るものです。
問題のパターンもそれほど多くないので、ぜひマスターしておきましょうね。
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