logxの積分

logxの積分の仕方を解説します。

少々テクニカルですが超頻出なので、考え方を理解した上で結果も暗記することを推奨します。

logxの不定積分は部分積分する

logxの不定積分は

$$logx=(x)’logx$$とみなして部分積分するとうまくいきます。

$$\int logx dx$$

$$=\int (x)’logx dx$$

$$ =xlogx-\int x(logx)’dx$$

$$ =xlogx-\int x(\frac{1}{x})dx$$

$$ =xlogx-\int 1dx$$

$$ =xlogx-x$$

logxの定積分

logxの定積分についても

$$logx=(x)’logxとみなして部分積分するとうまくいきます。

$$\int_{1}^{e}logxdx $$

$$\int_{1}^{e}(x)’logxdx $$

$$ =\left[xlogx\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} x(logx)’dx$$

$$=e-\int_{1}^{e} x(\frac{1}{x})dx$$

$$=e-\left[x\right]_{1}^{e}$$

$$=1$$